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["Notizen aus dem schwarzen Loch"]
 
 
Notizen 215
 
Eine Formel beherrscht die Welt
 
Gibt es eine mathematische Formel, welche die Welt beherrscht? Es gibt sie, aber so gut wie niemand redet darüber.

Wer beherrscht überhaupt die Welt? Die Politiker sicher nicht, die sind abhängig von Wirtschaft und Lobbyverbänden. Wer dann? Global agierende Firmen wie Nestlé oder General Motors? Banken wie Goldman Sachs oder andere Konsortien? Internetfirmen wie Google, Amazon oder Microsoft? Was immer Sie auch meinen, alle diese Firmen nutzen die Formel zur Prognose der Bedürfnisse ihrer Kunden. Die Formel ist hauptsächlich verantwortlich dafür, dass wir zum "gläsernen Menschen" mutieren. Sie war aber auch daran beteiligt, Hitler schneller zu besiegen. Dabei ist sie ganz einfach, leicht zu durchschauen und praktisch anzuwenden.
Bevor wir auf sie eingehen, zeigen wir die Tücken einer schlecht durchdachten Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie kann einen Menschen das Leben kosten. Hier ist sie: In einer Großstadt wie London mit mindestens 10 Millionen Einwohnern geschah ein Mord. Beim Opfer wurden DNS-Spuren gefunden, die mit einem verdächtigen Mann übereinstimmen. Vor Gericht wurde der Experte für DNS-Test gefragt, wie groß die Möglichkeit einer Fehlentscheidung wäre, woraufhin dieser angab: eins zu einer Million. Das Gericht schloss daraus: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Angeklagte nicht der Mörder war, beträgt 1 zu 1 Million, also praktisch 0. D.h., er war es mit überwältigender Sicherheit.
Doch diese Überlegung ist falsch. Bedenken wir: Die Wahrscheinlichkeit einer Fehl-Identifikation beträgt 1 zu1 Million, was heißt, dass unter einer Million Menschen nur einer ist, zu dem das Muster passt. In London gibt es aber (mindestens) 10 Millionen Menschen, was wiederum bedeutet: Die DNS-Sequenz passt zu 10 Menschen. Und das heißt: Es gibt zehn potenzielle Mörder, die Wahrscheinlichkeit, dass der Angeklagte der Täter ist, beträgt also nur 10%!
Zurück zur Formel, die solche Überlegungen explizit macht. Geschaffen hat sie 1740 ein englischer Geistlicher namens Thomas Bayes - nach ihm ist sie benannt - der versuchte, ein mathematisches Verfahren zu erschaffen, mit dessen Hilfe man die Existenz Gottes beweisen oder widerlegen kann. Daraus wurde die "Weltformel". Es geht, kurz gesagt, darum, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen oder Hypothesen zu bewerten, für die man zunächst keineDaten hat. In der üblichen Statistik werden aufwändige Untersuchungen gemacht, um dann aus dem Ergebnis der Stichproben auf die Gesamtheit zu schließen. Mit der Bayeschen Formel reicht es, zunächst irgendwelche Annahmen über eine Hypothese zu machen, zu der erst mal gar keine Daten vorhanden sind. Zum Beispiel zur Hypothese: Es gibt einen allmächtigen Gott.
Als Skeptiker werde ich dieser Hypothese zunächst die Wahrscheinlichkeit 50% zuweisen. Dann sammle ich Fakten, die meine These stützen (Beispiel: die Vollkommenheit der Schöpfung) oder widerlegen (Beispiel: das Böse in der Welt). Nach der Formel komme ich so zu einer immer feineren Beurteilung meiner Hypothese. Beweisen kann ich sie nicht, abschätzen aber schon.
Und so wird die Bayesche Formel immer dort angewandt, wo erst mal nur Vermutungen bestehen oder harte Daten nicht zu bekommen sind. Beispielsweise in der Kryptografie, der Wissenschaft von der Entschlüsselung geheimer Botschaften. Bedeutet eine bestimmte Zeichenfolge ein bestimmtes Wort? Was spricht dafür, was dagegen? Der große englische Mathematiker, Kryptograf und Computerwissenschaftler Alan Turing (1912 - 1954) bekam die Aufgabe, den Geheimcode der Deutschen im Zweiten Weltkrieg zu entschlüsseln, was ihm auch gelang. Mit Hilfe der Bayeschen Formel konnte er Hypothesen über die Bedeutung von Textfragmenten nach ihrer Wahrscheinlichkeit einordnen und sich damit unnütze Arbeit sparen. Turing hat Bedeutendes im Kampf gegen Hitler geleistet. Zum Dank dafür wurden seine Arbeiten zum Staatsgeheimnis erklärt (auf Befehl von Churchill), er selbst wegen Homosexualität verurteilt, bis er sich dann selbst umbrachte, mit einem vergifteten Apfel.
Ein weiteres wichtiges Problem ist der Zusammenhang zwischen dem Test auf eine Krankheit und dem tatsächlichen Vorliegen der Krankheit. Mit anderen Worten: Ist die Mammografie positiv, hat die Person dann auch Brustkrebs? Ist der HIV-Test positiv, hat die Person dann AIDS? Die Bayesche Formel macht dabei sehr präzise Aussagen - so präzise, dass trotz der hohen Trefferquote der Mammografie diese in den USA nicht mehr zu den Vorsorgeuntersuchungen zählt, weil die Fehlerquote zu groß ist. Nach der Bayeschen Formel ergab sich nämlich: Die Wahrscheinlichkeit, Brustkrebs auf Grund eines positiven Mammogramms zu haben, beträgt nur 3%!
So wurde die Formel, ursprünglich entwickelt zum Beweis Gottes, unter anderen eingesetzt für die Voraussage eines schweren Atomkraftwerksunglücks (korrekt), einer Terrorattacke auf das Pentagon (ist eingetroffen), für die Festlegung von Versicherungsprämien für Autofahrer, für den Beweis des Zusammenhangs zwischen Rauchen und Lungenkrebs, für das Auffinden einer vor Spanien verloren gegangenen Wasserstoffbombe, für die Entschlüsselung von Geheimschriften und -nachrichten, für Spam-Filter bei e-mails, für die automatische Übersetzungen bei Google, für Algorithmen-Optimierungen bei Microsoft, für die Suche nach Schiffbrüchigen, usw.
Das Pikante daran: Jahrhundertlang wurde die Formel von fast allen Wissenschaftlern bekämpft, insbesondere von den Größen der Statistik, R.A. Fisher und John von Neumann. Sie wäre unwissenschaftlich, und wer sich dazu bekannte, sie anzuwenden, wurde aus dem wissenschaftlichen Betrieb entfernt oder gar öffentlich zur Sau gemacht. Die Wissenschaft geht manchmal seltsame Wege!

Für die Unerschrockenen hier ein Beispiel (ohne Mathematik: einfach zum "Fazit" springen). Die Bayessche Formel lautet:P(A)∙P(B|A) = P(B)∙P(A|B) = P(A∩B)
(Die Gesamtwahrscheinlichkeit von A, multipliziert mit der durch B bedingten Wahrscheinlichkeit von A, ist gleich ... das Ganze umgekehrt). Nehmen wir nun an, das bei einer Mammographie folgendes gilt: K = Anzahl Fälle Krebs, M = Anzahl positiver Mammographien. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit P(K|M), also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Brustkrebs bei einem positiven Befund? Dazu brauchen wir nach der Bayesschen Formel P(K) = Häufigkeit von Brustkrebs, etwa 40 von 10.000, also 0,4%, P(M|K) = Häufigkeit eines positiven Mammogramms bei festgestellter Krebserkrankung. Von den 40 an Brustkrebs erkrankten Frauen erhalten 32 ein positives Mammogramm, also ist die Häufigkeit 32/40 oder 0.8.
P(M) = Häufigkeit von positiven Mammogrammen. Sie setzt sich aus korrekten und aus falschen "Positiven" zusammen. Die Häufigkeit solcher Fehlalarme beträgt 10%, in absoluten Zahlen: 996 von 10.000. Dazu kommen die "korrekten" Mammogramme, das sind 32. Summe: 996+32=1028, Häufigkeit also 10,28%. Einsetzen in die Formel ergibt die Wahrscheinlichkeit für Vorliegen einer Krebserkrankung bei einem positiven Mammogramm:
                                              (40/1000)(32/40)
P(K|M) = P(K)P(M|K)/P(M) = ----------------------- = 0,03
                                                   1028/10000

Fazit: Bei einem positiven Mammogramm haben nur 3% der Frauen wirklich Krebs und 97% nicht!
Und noch ein aktuelles Beispiel, diesmal ohne Formel: Terrorismus, genauer gesagt, die Erkennung von Terroristen. Stellen wir uns vor, man würde mittels eines perfekten Überwachungsverfahrens einen zukünftigen Terroristen oder Amokläufer zu 99% identifizieren können, und ebenso einen Nicht-Terroristen zu 99%. Tolle Chancen, jedenfalls weit besser als in der Realität, zumal Täter oft vorher völlig unauffällig waren. Aber: Es gibt viel mehr Nicht-Terroristen als Terroristen. Glücklicherweise, aber das macht die Methode unwirksam. Denn sagen wir, unter 100 Millionen Menschen gibt es 1000 Terroristen oder Amokläufer. Dann liefert uns die obige Methode 990 der potentiellen Täter. Das klingt toll. Dummerweise liefert sie gleichzeitig - ununterscheidbar von den tatsächlichen potentiellen Tätern - noch eine Million falsche Alarme, in denen die 990 realen Gefährder völlig untergehen. Und eine totale Sicherheit gibt es immer noch nicht, denn 10 Täter sind durchs Raster gefallen und können trotzdem morden. Und das bei 99%-igen Wahrscheinlichkeiten, also weit höher, als es in der Realität der Fall ist! Eine massive Überwachung, von den Regierungen auf Grund der berechtigten Ängste der Bevölkerung gefordert, erweist sich als so gut wie wirkungslos.
 
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Schwarze Löcher wurden von Karl Schwarzschild 1916 theoretisch aus den Formeln der Allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein abgeleitet. 1967 schuf John Archibald Wheeler den begriff "Schwarzes Loch" für diese Gebilde. Schwarze Löcher verschlucken alles für immer, Materie, Energie, Strahlung und Information. 1974 publizierte Stephen Hawking eine Hypothese, wonach Schwarze Löcher auch verdampfen können ("Hawking-Strahlung"), und in seinem Buch "Das Universum in der Nussschale" äußerte er die Annahme, dass Schwarze Löcher bei ihrem Ableben die gesammelte Information wieder ausspucken.
 
 
 
 
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